Эффект Допплера и аберрация света.
Если
источник излучения и наблюдатель движутся друг относительно друга, то и
частота, и направление монохроматической световой волны, измеренные
наблюдателем, отличаются от этих параметров, испускаемых источником. Изменение
частоты волны называется эффектом Допплера, а изменение
направления – аберрацией света.
Пусть
источник света (например, звезда) связан с системой координат x,y,z, а наблюдатель
– с системой 
(рис.1.). Пусть наблюдатель движется относительно источника
света со скоростью v. Угол 
определяет направление
распространения света от источника к наблюдателю, измеренный в системе x,y,z
, а угол 
определяет направление распространение той же волны с точки
зрения наблюдателя. (Для того чтобы наблюдатель мог увидеть источник света угол
должен быть отрицательным, как показано на рисунке).
Изменение
частоты и направления распространения волны проще всего можно определить из
условия равенства фаз одной и той же волны в обеих системах отсчета.
Действительно, состояние электромагнитного поля, например, максимум или нуль
напряженности, не может зависеть от выбора системы отсчета. (Примем этот факт
без доказательства, считая его очевидным). Условие равенства фаз запишется так
где 
и 
– координаты и время
одного и того же события в обеих системах отсчета. (Начало отсчета времени
выбрано так, чтобы при r=0 и t=0
было бы 
=0 и 
=0). Здесь k(k’) –
волновой вектор, имеющий следующие составляющие
Введем значения составляющих
волнового вектора в уравнение (1)
Применим
преобразования Лоренца.
Мы рассматриваем все с точки зрения
наблюдателя, поэтому в левой части равенства перейдем к штрихованным координатам.
Приравняем коэффициенты при , 
и 
. Получим следующие
выражения
Разделив
почленно уравнение (4) на (3). получим дополнительно
Итак
1.
При переходе от
одной инерциальной системы координат к другой преобразуются частота волны и волновой вектор.
2.
Для волнового
вектора изменяется как его абсолютная величина, так и направление (т.е. меняется
направление распространения волны ).
3.
Изменение частоты
света называется эффектом Допплера. Изменение направления волнового вектора
называется аберрацией света (или – звездной аберрацией).
Эффект Допплера.
Рассмотрим
сначала изменение частоты. Оно описывается формулой (2).
Рассмотрим
два частных случая.
1. 
. Свет распространяется вдоль оси и наблюдатель удаляется от источника света.
Тогда 
. Из уравнения (4) следует
. Следовательно, 
и 
. Подставив это значение в (2) получим
.
Здесь ω – частота,
определенная в системе координат, в которой источник излучения покоится, ω’
– частота, измеренная наблюдателем.
Если
источник и наблюдатель сближаются, то знак у скорости меняется на обратный.
Таким образом
.
Верхний знак означает приближение, нижний –
удаление. Если объект удаляется от наблюдателя, мы наблюдаем уменьшение частоты
(сдвиг спектральной линии в красную сторону). Если приближается – увеличение
частоты (сдвиг спектральной линии в фиолетовую сторону).
Это – продольный эффект Допплера.
2.
В момент наблюдения наблюдатель видит источник «прямо над собой», т.е. свет
распространяется вдоль оси . Тогда 
, 
. Из уравнения (3) получаем 
. Подставив это значение в (2), получим для частоты
Частота, измеренная
наблюдателем, меньше. Наблюдается красное
смещение спектральной линии. Это – поперечный эффект Допплера. Этот
эффект – чисто релятивистский. Он не зависит от направления скорости движения
наблюдателя.
Заметим –
направление «источник–наблюдатель» с точки зрения наблюдателя и
источника не совпадают.
.
Применения эффекта Допплера.
Определение
лучевой скорости звезд, и вообще любых космических объектов («разбегание
галактик»)
Наблюдение
двойных звезд («спектрально двойные»).
Определение
скорости вращения солнечного диска.
Определение
скорости направленного движения атомов и ионов (плазма. атомный пучок).
Определение
температуры газа (по доплеровскому расширению линий).
И
т.д.
Рассмотрим
более подробно:
1)
Определение
скорости движения атомов в газе
2)
Определение
скорости удаления звезд
1. Определение скорости движения атомов
в газе.
Это может быть: а)направленное
движение атомов (например, в атомном пучке) и б) хаотическое (тепловое)
движение атомов.
Скорость
атомов в газе обычно много меньше скорости света, поэтому можно пользоваться
классической формулой 
, полученной из (2) в приближении 
. Следовательно, если наблюдаем по ходу луча, то 
Знак зависит от того,
приближается к нам атом или удаляется.
Если
наблюдем свечение газа (например, чтобы определить его температуру), то здесь
только хаотическое движение атомов, угол может быть любым от 0
до 2
и мы наблюдаем все частоты от 
до 
, причем скорости атомов v распределены по закону Максвелла. По этим данным
можно вычислить контур линии излучения 
(определив долю
атомов, испускающих наблюдаемую частоту 
). Измерив контур линии и сравнив его с вычисленным и
определяют температуру газа.
2.Скорости движения звезд.
Здесь,
в отличие от случая газа, скорость может быть и очень большой, сравнимой со
скоростью света (для далеких галактик). Поэтому нужно считать по точной формуле
. Перейдем от частот к длинам волн 
и, если объект
удаляется, то 
. Мы наблюдаем (измеряем) длину волны 
. Длина волны λ
нам известна (спектры атомов хорошо изучены в земных условиях). Требуется
определить скорость v.
Обозначим 
. Тогда 
и 
. Величина z известна из измерений. По этой формуле и определяют
скорости удаления галактик. В настоящее время наблюдают уже много объектов, для
которых 
(Отношение 
означает 
!)
Рассмотрим теперь аберрацию света.
Это явление существенно в астрономических наблюдениях при
определении положения звезд, поэтому аберрацию света часто называют звездной
аберрацией.
Пусть
звезда (в системе координат x,y, которую
мы считаем неподвижной) находится «прямо над» наблюдателем (рис.2). Тогда 
. С точки зрения наблюдателя направление на звезду
определяется формулой (5):
Тангенс угла положителен, значит угол лежит в 3-ей четверти, как показано на рисунке. Ось
телескопа должна быть наклонена по
отношению к вертикали на угол 
.
Тогда
.
Знак ″–″ означает.
что угол α это поворот от
нормали по часовой стрелке. Не будем обращать внимание на знак, а найдем абсолютное значение для sinα.
Таким
образом, ось телескопа должна быть наклонена на угол 
. Для Земли, двигающейся по орбите, 
, и угол α=20,5”.
Траектория видимого положения звезды за год (время обращения Земли по орбите)
будет эллипсом, большая полуось которого имеет угловые размеры
.
