Элементы нелинейной оптики

         В уравнения Максвелла входят поля E и D, В и Н. Они связаны между собой материальными уравнениями

Величины ε и μ зависят от вещества, в которой поле распространяется, от частоты света, они могут быть скалярными (изотропная среда ) или тензорными (анизотропная среда) величинами. Но мы всегда предполагали, что эти величины не зависят от значений полей Е и Н. Благодаря этому уравнения Максвелла линейны и однородны. Для таких полей верен принцип суперпозиции. Все это верно для не очень сильных полей. Но, если поле сильное, оно само влияет на среду, в которой распространяется, и свойства среды меняются. Уравнения Максвелла становятся нелинейными, что ведет к нарушению принципа суперпозиции, а значит и закона независимости световых пучков. Оптику слабых (в указанном выше смысле) полей называют линейной оптикой, а оптику сильных полей – нелинейной оптикой.

         «Сильное поле» – это поле, сравнимое с внутренними атомными и молекулярными полями. Оценим такое поле. Поле между электроном и ядром в атоме водорода  .

В молекулах поле меньше. Таким образом сильное поле – это поле, порядка  вольт/см.  Что дают обычные (не лазерные) источники света? Среднее поле солнечного излучения вблизи поверхности Земли равно 7,2 вольт/см. Таким образом, нелазерные источники света характеризуются полями  до 10 вольт/см, т.е. много меньше «сильных» полей. В этом случае независимость диэлектрической постоянной от поля Е выполняется с большой точностью. Случай сильных полей до открытия лазеров считался лишь умозрительным и всерьез не исследовался. Начиная с 1960г (изобретение ОКГ) положение изменилось – лазеры позволяют получать свет, в котором  вольт/см.

Такие поля уже не могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с внутриатомными и внутримолекулярными полями. В них наблюдаются качественно новые, нелинейные явления, и притом не как малые поправки, а как явления крупного масштаба, получившие важные практические приложения.

         Нелинейные эффекты можно несколько условно разделить на классические и квантовые. Классические эффекты могут быть объяснены как на «классическом» языке, с использованием представлений о световых волнах, так и на квантовом, с использованием квантовых представлений. Квантовые эффекты могут быть объяснены только на базе фотонных  представлений.

         Мы рассмотрим здесь только некоторые, наиболее важные, классические эффекты.

 

Материальные уравнения для нелинейных сред.

         Основная  оптическая характеристика среды –  показатель преломления. Для изотропной среды мы получали соотношения

. 

p=ех – дипольный момент атома (молекулы).

         В линейной оптике  и поляризуемость α не зависит от поля. Действительно,  по классической теории (модель атома Томсона) сила, удерживающая электрон в атоме в равновесии,  при не слишком больших полях пропорциональна смещению электрона F=-kx. Это ведет к тому, что поляризуемость атома (молекулы) α не зависит от поля Е. Кроме того, число атомов в единице объема N  не зависит от поля. Поэтому и диэлектрическая проницаемость ε не зависит от поля.

         В нелинейной оптике все эти условия (или некоторые из них) могут не выполняться.

         1.В сильных полях атом становится ангармоничным – сила, удерживающая электрон в равновесии уже не пропорциональна его смещению.

         2.Концентрация частиц может меняться  из-за электрострикции – на диэлектрик, помещенный в электрическое поле, действует всестороннее давление, пропорциональное квадрату напряженности электрического поля. Кроме того концентрация частиц может меняться вследствие нагревания среды.  Этот эффект довольно инерционен, он характеризуется временем порядка сек и в коротких лазерных вспышках мало существенен.

         3.Если среда состоит из анизотропных молекул, то без поля они ориентированы хаотично (если это не кристалл) и среда изотропна. Но при наличии электрического поля (электромагнитной волны) молекулы ориентируются, и среда становится анизотропной, двоякопреломляющей, и в показателе преломления как для обыкновенного, так и необыкновенного лучей появляются добавки, пропорциональные квадрату напряженности электрического поля. (Это явление подобно эффекту Керра). Кроме того, может меняться и поляризуемость молекулы. Эффекты, связанные с ориентацией и изменением поляризуемости молекул менее инерционны (время порядка сек),  но они существенны в основном в жидкостях.

         В твердых телах  основная причина нелинейности – ангармоничность атома как осциллятора. Рассмотрим это подробнее. Сила, действующая на электрон в атоме равна

Здесь b,c... – малые поправки, так что

Заметим, (это важно!) что в изотропных средах должно быть b=0 (а также равны нулю все коэффициенты при четных степенях х), так как при  изменении знака (направления) силы меняется и направление (знак) смещения а его величина остается неизменной.

Уравнение движения электрона будет как и в линейной оптике

но теперь сила определяетя формулой  (1). (Напомним – направление х – смещение электрона, перпендикулярное направлению распространения волны). Пренебрежем инерцией электрона, т.е. положим m=0 (это несколько изменит величину числовых коэффициентов в конечных результатах, но не изменит сути дела). Тогда можно считать eE+F=0, что даёт

откуда

Решение этого уравнения удобно искать методом последовательных приближений. Вначале положим b=0, c=0,… и получим первое приближение:

.

Затем полученное приближение подставим во второй член уравнения (2), оставив с=0…и получим второе приближение:

Второе приближение подставим в следующий член уравнения (2) и т.д. Ясно, что  будет содержать ,  –  и т.д. Таким образом

                                                                 (3а)

 Учтя, что  получим

Используем тригонометрические соотношения

Подставив это в (3) получим

Обратите внимание! В изотропной среде члены с  (и вообще все члены с четными степенями Е) обращаются в нуль (так же, как и в выражении для силы (1) имели b=0). Сгруппировав члены в предыдущей формуле по косинусам кратных углов получим окончательно

Из формулы (4) следует:

1.Под действием падающей монохроматической волны электрон совершает сложное движение.

2.В выражении для х присутствует постоянная составляющая. Это значит, что при прохождении интенсивной световой волны возникает статическая поляризованность, создающая однородное постоянное электрическое поле, как в плоском конденсаторе. (Этот эффект присутствует только в анизотропной среде!). Такой эффект называется оптическим детектированием. Он находит применение в детекторах мощных световых пучков –  измеряется напряжение на обкладках конденсатора, нанесенных на боковые грани нелинейного кристалла, возникающее при прохождении сквозь него лазерного импульса.

3. Появляются члены с удвоенными, утроенными  и т.д. частотами – нарушается один из основных принципов линейной оптики – неизменность частоты. (Ранее мы считали само собой разумеющимся, что частота сохраняется).

  Амплитуда второй гармоники пропорциональна квадрату амплитуды первичной волны . Соответственно мощность второй гармоники пропорциональна  квадрату мощности первичной волны. Таким образом, энергетический коэффициент преобразования растет с ростом мощности первичной волны.

Заметим – в изотропных средах нет удвоенной частоты, а только утроенная.

4.                 Изменяется поляризуемость на основной частоте (а именно она определяет коэффициент преломления):

 

В выражении для поляризуемости появляется член, пропорциональный квадрату амплитуды, т.е. интенсивности I. Значит, такой же член будет и выражении для коэффициента преломления

5.     Можно показать, что если в среде проходят две волны с разными частотами,  и , то в спектре вынужденных колебаний электрона появляются члены, содержащие частоты, равные сумме  и разности частот  и . Таким образом, нарушается принцип независимости световых пучков – волны взаимодействуют.

 

Некоторые эффекты, связанные с нелинейностью.

         Мы рассмотрим только некоторые наблюдаемые на практике эффекты, такие, которые можно объяснить на языке волновой оптики.

         Самоканализация и самофокусировка.

Пусть в какой-то среде проходит интенсивный пучок света. В соответствии с формулой  (5)  в том месте, где проходит свет, показатель преломления увеличивается. Таким образом, мы получаем трубку с показателем преломления  n, вокруг которой показатель преломления среды  (это, конечно, упрощенно, в действительности коэффициент преломления меняется постепенно). Благодаря дифракции лучи не могут идти вполне параллельно – пучок расширяется. Рассмотрим какой-то луч, составляющий угол φ с осью пучка и падающий на его край  (Рис.1) . Если угол падения θ=π/2–φ больше предельного, то этот луч испытает полное внутреннее отражение и не выйдет за пределы пучка, более того, он изменит свое направление – из «наружу» на «внутрь» пучка. Таким образом, имеются два взаимно противоположных эффекта – дифракция, стремящаяся расширить пучок, и нелинейный эффект, стремящийся его сузить. Если эти процессы уравновешивают друг друга, происходит самоканализация пучка – он не показывает дифракционного расхождения. Если роль дифракции меньше, пучек не расходится, а сужается происходит самофокусировка.                                                                           

Проведем расчет.  Предельный угол определяется условием  Подставим сюда значение n из (5): .

Угол дифракции , где d – диаметр пучка (диаметр оправы, которая этот пучок ограничивает). Для самоканализации эти углы должны быть равны:, следовательно , откуда

Учтем, что  (малая поправка), пренебрежем этой поправкой, тогда получим

 и отсюда получим выражение для критического значения интенсивности  . Мощность пучка пропорциональна произведению , откуда получаем  . Режим самоканализации требует тем большей мощности, чем больше длина волны (сильнее дифракция!) и тем меньшей мощности, чем сильнее выражена нелинейность.

 

Если угол дифракции меньше, , происходит самофокусировка пучка. Лучи отклоняются к его оси, и среда действует как собирающая линза. Явление самофокусировки имеет лавинный характер, так как по мере фокусировки растет интенсивность на оси и, следовательно, возрастает роль нелинейного члена.

Явление самофокусировки было предсказано в 1962г и вскоре наблюдалось  также экспериментально.

Заметим: кроме фокусировки присутствует и обратный (тоже нелинейный) эффект, например, расширение вещества при нагревании.

 

Генерация кратных гармоник.

        В нелинейной оптике индуцированный дипольный момент имеет слагаемые с кратными частотами. Поэтому молекулы среды испускают свет кроме основной частоты еще и кратных (удвоенной, утроенной и т.д.) частот

        Впервые генерацию кратных гармоник наблюдали Франкен с сотрудниками в 1961г – излучение рубинового лазера, распространяющееся в кристаллах. Схема опыта показана на рис.2. Свет с частотой ω падает на кристалл (1). Здесь образуется волна с частотой  2ω. Далее свет проходит через светофильтр (2), который отсекает основную частоту, и попадает в приемник излучения. Но КПД этого преобразователя был очень мал, около

, такая часть света преобразовывалась в кратные гармоники.

Для того, чтобы получить более мощную волну, нужно, чтобы фазы всех элементарных осцилляторов были согласованы так, чтобы все складывающиеся элементарные волны приходили в точку наблюдения (приемник) с одинаковыми фазами. Иначе в результате интерференции они будут частично гасить друг друга.

           В линейной оптике первичная и вторичная волны  имеют одинаковую частоту и, следовательно, одинаковую фазовую скорость. Поэтому неважно, где происходит преобразование первичной волны во вторичную, все эти волны распространяются вдоль оси пучка с одинаковыми фазами. В нелинейной оптике вторичные волны с двойной частотой 2ω имеют иную фазовую скорость, чем исходная волна (с частотой ω), и все вторичные волны, индуцированные в разных местах, будут иметь разные фазы. Однако можно подобрать такое  вещество, чтобы показатели преломления оказались одинаковыми: . Для этого используют явление двойного лучепреломления в кристаллах. Классический кристалл для этого                                                    «КДП» – дигидрофосфат калия (с химической формулой ). На рис.3 показан

                     Рис.3.

график, показывающий сечения поверхностей, изображающих зависимость показателей преломления обыкновенного и необыкновенного лучей от направления волновой нормали для частот ω (сплошная линия) и 2ω (пунктир). При угле θ=41,5º показатели преломления, а значит и фазовые скорости  первичной и вторичной волн одинаковы. Следовательно, выполняется условие пространственного синхронизма (мы об этом говорили в теме «лазеры»). При выполнении этого условия можно достигнуть КПД  до 20 или 30%. Но угол нужно удерживать довольно точно – при отклонении  луча всего на 3' интенсивность второй гармоники падает почти до нуля!