Дифракция Фраунгофера.

Это дифракция плоской волны.

Рассмотрение этой задачи проще, а приложения – важнее.

 Наиболее важные случаи – дифракция на щели, на многих щелях, на круглом отверстии.

 

Дифракция Фраунгофера от щели.

Установка для наблюдения дифракции (рис 1) содержит источник света S1, объектив для создания параллельного пучка лучей L1, щель, на которой наблюдается дифракция L2, объектив L2, фокусирующий изображение на экран P. В качестве источника света берется не точечный источник, а тоже щель, параллельная той, на которой наблюдается дифракция. Так больше света.

Расчет дифракции.

Пусть в плоском непрозрачном экране имеется щель шириной b. На экран нормально к его поверхности падает плоская волна. Требуется определить интенсивность света как функцию угла дифракции (угол, который

дифрагированный свет составляет с нормалью к поверхности экрана).

Рассмотрим интеграл

 

В нашем случае

– волна, которая дифрагировала под углом φ (вся ее световая энергия собирается в точке Р экрана).

 – амплитуда, приходящаяся на участок dx щели, шириной b.  – постоянная величина, так как угол дифракции постоянен

Множитель r в знаменателе постоянен, т.к. дифрагированная  волна плоская.

Фаза волны определяется как  – это разность фаз участка волны, идущей от элемента dx и участка от начала щели.

Таким образом, вместо интеграла (1) получим

                                    

Вычисляем этот интеграл.

 

Введем новую переменную интегрирования   и обозначим . Тогда верхний предел интеграла будет :

          

Это – амплитуда. Таким образом, искомая волна имеет вид

                      

Интенсивность света дифрагировавшего под углом φ пропорциональна квадрату амплитуды.

                    

          

Рассмотрим, какой вид имеет функция

Максимум функции будет при  u=0 (и значит φ=0). Функция имеет минимумы (нули) при sinu=0,  u≠0 , что соответствует углам

Между минимумами наблюдаются вторичные максимумы, гораздо менее интенсивные, чем главный. Подсчитать примерно интенсивность во вторичных максимумах можно используя векторное построение (рис.3). Главный максимум наступает тогда, когда колебания от всех участков dx находятся в одной фазе. График – прямая линия длиной Следующий максимум (первый вторичный) будет, когда открыты 3 зоны Френеля, следовательно, спираль сделает полтора оборота.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем примерный расчет величины вторичных максимумов.

1-й максимум. Амплитуда  определяется из условия

Интенсивность

Точно так же – второй максимум.

         Приведенный расчет является приближенным, так как в действительности максимумы на точно совпадают с условием Это происходит потому, что при увеличении угла φ спираль стягивается ( так как общая длина всей линии должна быть постоянной) и её диаметр уменьшается. Поэтому максимум наступает несколько раньше.

Вид получившейся кривой показан на рис. 4. Здесь сплошной линией показана интенсивность, а штриховой  – амплитуда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На экране будут светлые и темные полосы. Так как положение вторичных максимумов зависит от длины волны, то если щель освещать белым светом, в центре будет белая полоса, а дальше полосы будут окрашены.

Для подсчета  нужно исходить из закона сохранения энергии: вся энергия света, падающего на щель, распределяется по экрану по закону (6.2.1). Оценим величину . Световая энергия падающая в единицу времени на единицу длины щели равна , где S – вектор Пойнтинга, а b – ширина щели.. Эта энергия распределяется по площади fλ/b, где f – фокусное расстояние линзы  (рис.6.8), λ/b – полуширина максимума. Средняя освещенность экрана в районе главного максимума найдем из равенства , откуда Таким образом, освещенность в максимуме интерференционной картинки пропорциональна квадрату ширины щели.

(Замечание. Это, конечно, только примерная оценка величины, т.к. реально и щель не бесконечно длинная, и источник света имеет конечные размеры, и нужно учитывать вторичные максимумы, дифракцию на оправе объектива и т.п. ).

Влияние ширины щели на вид интерференционной картинки.

         С уменьшением ширины щели центральная полоса расширяется, так как первый минимум отодвигается от центра. При  ширине щели, равной длине волны  угол, соответствующий первому минимуму, становится равным 90°, освещенность экрана монотонно уменьшается от центра к краям. При дальнейшем уменьшении ширины щелиосвещенность стремится стать равномерной по всему экрану.

         Если увеличивать ширину щели, то максимум становится все более резким, а яркость изображения увеличивается, так как увеличивается энергия, прошедшая в щель. Если ширина щели много больше длины волны получаем резкий максимум (если источник – линейный получаем узкую полосу) . Это – случай геометрической оптики.

         Влияние размеров источника света на вид интерференционной картинки.

         Пусть наш источник света – не точечный , а имеет конечные размеры. Такой источник можно представить как совокупность некогерентных точечных источников, каждый из которых даёт свою интерференционную картину. Все эти картинки смещены друг относительно друга (рис. 5).  Пусть угловой размер источника равен 2α. Ширина центрального интерференционного максимума равна 2λ/b.  Вид дифракционной картинки зависит от соотношения этих двух углов (Рис.6).

         Если λ/b<< α, (широкая щель или большой источник) то изображение геометрически подобно источнику, дифракция мала.

         Если λ/b>> α, (узкая щель, малый источник), то видна только дифракционная картинка, ширина изображения не дает информации о размерах источника света.

В промежуточных случаях – нечто среднее.

         Таким образом: если наблюдаем дифракцию от протяженного источника сначала с широкой щелью, а затем щель постепенно сужаем, то сначала видим геометрическое изображение источника, затем начинает сказываться дифракция и при малой ширине щели видим уже только дифракционную картину от щели, а вовсе не изображение источника.

 

Дифракция от прямоугольного отверстия.

Если отверстие прямоугольное, то картина будет двумерной. По аналогии с одномерным случаем

                                

где

                               

a и b – размер сторон прямоугольного отверстия, φ и ψ –  углы дифракции.

Вид картинки показан на рис. 7..

Дифракция на круглом отверстии.

Расчет более сложен, однако результат предсказуем. Картинка получается в виде светлого пятна, обрамленного темными и светлыми кольцами (рис. 7.). Угловой радиус  первого темного кольца (определяющий радиус центрального светлого пятна) определяется из  где R – радиус

отверстия. В главном максимуме («диск Эйри») сосредоточено около 84% всей световой энергии, прошедшей в отверстие.

 

 

Гауссов пучок.

         При падении плоской волны на круглое отверстие в экране угол дифракционной расходимости пучка

                           

и в главном максимуме сосредоточено 84% света. Дифракция ставит предел разрешения, в этом смысле это вредный фактор и его нужно уменьшать.

         Гауссов пучок – такой, у которого амплитуда напряженности поля максимальна на оси пучка и уменьшается к краям в соответствии с функцией Гаусса

                                      

где  – расстояние от оси пучка, на котором амплитуда поля уменьшается  в e раз (интенсивность – в  раз). Это мера ширины пучка. В пределах этой ширины сосредоточено 86% энергии.

Пучок когерентного излучения с гауссовым профилем распределения интенсивности обладает самой высокой направленностью, совместимой с волновой природой излучения. Угол дифракционной расходимости для такого пучка

                

( – ширина пучка в его самой узкой части, аналог R в формуле (1)). Кроме того, интенсивность дифракционной картины в гауссовом пучке быстро и монотонно уменьшается при удалении от оси, без дифракционных колец. Это полезно для оптических приборов, так что иногда вводят искусственное ослабление пучка к краям (аподизация). (Такое распределение амплитуды получается в излучении лазера).

 

Разрешающая способность объектива.

Идеальный объектив должен преобразовывать точку в точку. Реально – аберрации и дифракция. Аберрации в принципе можно устранить (по крайней мере, для некоторой области параметров. В которой используется объектив). Но разрешающая способность объектива лимитируется дифракцией, это принципиально.

Если на объектив (например, телескопа) падает плоская волна (от бесконечно удаленного источника), то в фокусной плоскости объектива получается дифракционное изображение. Угловой радиус дифракционного максимума  где D – диаметр объектива. Если рассматриваем две близких звезды, то получим наложение дифракционных картин (рис.    ).. Условие разрешения – критерий  Релея – два изображения считаются разрешенными, если дифракционный максимум одного совпадает по положению с дифракционным минимумом другого.( При этом  общая картинка имеет провал интенсивности примерно составляющий 74% от максимальной). Если α – угловое расстояние между звездами, то условие их разрешения будет  Разрешающей способностью объектива называется величина А=1/α, следовательно

                                             

Чем больше диаметр объектива, тем лучше разрешение. (Кроме того количество света. попадающего в объектив, пропорционально квадрату его диаметра, так что увеличение диаметра объектива выгодно и с этой точки зрения). Поэтому  телескопы  ценятся в основном за диаметр объектива.

         Для повышения разрешающей способности

1)     увеличивают размеры объектива (зеркала). Но здесь лимитируют прочность материалов, однородность стекла, вес всей конструкции, которая может деформироваться  и т.п. Предел, по-видимому, уже достигнут.

2)     Новое направление – построение большой оптической системы из элементов сравнительно небольшого размера. Специальная автоматическая система юстировочных механизмов поддерживает нужное взаимное расположение элементов. Здесь возможно учитывать состояние атмосферы и корректировать поверхность.Пример такой разреженной апертуры – звездный   интерферометрМайкельсона.