Разложение излучения в спектр.

         Мы видели – монохроматические волны – это идеализация: свет от реального источника никогда не бывает монохроматическим.

 Но реальную волну можно представить в виде наложения монохроматических волн с разными частотами. (это можно благодаря принципу суперпозиции волн).

С математической точки зрения это означает разложение функции (электрического поля) в ряд Фурье или представление её в виде инеграла Фурье.

Вообще говоря,  сложную функцию можно представить как сумму других функций самыми разными способами (разложить её в ряд по любой полной системе ортогональных функций). Но разложение именно по sin и cos удобно по многим причинам:

–       эти функции периодичны, т.е. однородны по времени.

–       монохроматические волны – наиболее простые волны и их свойства хорошо известны.

–       Гармонические колебания – единственный тип колебаний, форма которых не искажается при прохождении через любую линейную систему, таким образом, они занимают среди всех колебаний особое место.

–       излучение отдельных атомов, а также достаточно разреженных газов состоит из наложения нескольких волн (спектральных линий)  весьма близких к монохроматическим. Каждый атом имеет свой набор линий – «спектр» – характерный лишь для атома данного элемента.

–       Скорость монохроматической волны, распространяющейся в какой-то среде, зависит от частоты волны.

Практически: в оптике спектральный прибор (например, спектрограф) производит фактически разложение сложного излучения на монохроматические составляющие и позволяет исследовать каждую отдельно.

Пусть имеется функция E(t), описывающая реальное физическое поле. Известно, что если функция удовлетворяет довольно широким условиям, которые в физике обычно выполняются и которые сводятся в основном к тому, что эта функция должна быть конечной и абсолютно интегрируемой во всем пространстве, можно представить эту функцию E(t) в виде интеграла

где

Здесь (1) – это интеграл Фурье, а (2) – Фурье-образ функции E(t). Очевидно, что   полностью определяет и вид функции E(t).

         Замечание. Для монохроматического света мы писали , таким образом,  соответствует (с точностью до постоянного множителя) комплексной амплитуде .

         Функция E(t), описывающая реальное физическое поле, должна быть вещественной, но функция  не обязана быть вещественной, в частности, она включает начальную фазу каждого из монохроматических колебаний. Требование вещественности функции E(t) означает

, что даёт .

Сделаем во втором интеграле замену . Получим

Сравнив интегралы в первом и втором равенстве видим, что

.                                                                  (3)

Это должно выполняться в силу физических соображений. Таким образом, достаточно знать  только для ω≥0.

         Нас интересует сейчас не сама функция, а интенсивность, т.е. энергия волны и как она выражается через интенсивности её компонент Фурье. Вычислим (с точностью до постоянного множителя) полную энергию волны . Имеем

Изменим порядок интегрирования

Пояснение. Действительно,

Введем в первом интеграле новую переменную  и учтем равенство (3)

Таким образом, первый и второй интегралы равны и интенсивность для каждой монохроматической компоненты равна

,

а полная интенсивность

Величина  называется спектральной плотностью излучения.

         Замечание. Когда мы рассматривали вектор Пойнтинга S мы получили для монохроматического света . Теперь мы знаем более общее выражение  , позволяющее оперировать и с комплексными амплитудами.

         Набор частот, соответствующий данному излучению (дискретный или непрерывный) называют его спектром. Иногда под спектром подразумевают также и распределение энергии (интенсивности) по этим частотам, или даже просто Фурье-образ . Но если Фурье-образ функции полностью её определяет, то спектр – нет. Действительно,  не содержит информации о фазах монохроматических составляющих, т.о. одному и тому же спектру могут соответствовать разные функции E(t).

         Рассмотрим теперь спектральный состав немонохроматической волны, близкой к монохроматической. Пусть такая волна  представляет из себя  конечный отрезок синусоиды длительностью τ (рис.4.3.1).

      

 

 

                           

 

 

 

Поле волны запишем как

Это – волновой цуг  имеющий временную протяженность , а пространственную – .

Вычислим  для такого цуга. По определению

Вычислим первый интеграл

Второй интеграл будет иметь такой же вид, только вместо разности частот стоит сумма частот. Подставив значения интегралов в формулу для  получим

 Как это выглядит? Рассмотрим график функции . Он показан на рисунке. Функция имеет максимум при x=0, здесь ее значение равно 1, и обращается в 0 при x=mπ, m=1,2,3… В промежутках имеются второстепенные максимумы, значение функции в которых не превосходит 0,05 и уменьшается с удалением от главного максимума. Так что функция значима только в небольшом интервале около нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Функция  содержит наложение двух таких кривых с главными максимумами, расположенными при  и .(рис.4.3.3).  Нас интересует только область положительных частот. Здесь играет      роль первое слагаемое и накладывается кончик от второго. Если ширина главного максимума  намного меньше, чем его расстояние от начала координат , то в области положительных частот второе слагаемое несущественно, так как его главный максимум сдвинут сильно в сторону отрицательных частот и в области положительных частот остается только далекий хвостик.

Частота, соответствующая первому нулю функции  определится из условия

x=π, или  =π, откуда =2π/τ. Но частота . Следовательно, должно выполняться условие 2π/τ<<, откуда следует  Т<<τ, т.е.цуг волн должен быть достаточно длинным (по сравнению с периодом колебаний). Если источник света – газовый, то обычно это выполняется с большим запасом. Распределение интенсивности в спектральной линии (распределение энергии по спектру) выражается                 

формулой

или, с точностью до постоянного множителя

                                                                     

 

График этой функции показан на рис. 4.3.4. Это – контур спектральной линии. Т.о. спектральная линия не бесконечно узкая, а имеет некоторую ширину. Ширину спектральной линии можно определить как интервал частот Δω, между значениями которых спектральная плотность равна половине максимальной («ширина на половине высоты», или «полуширина»). Приближенно это равно Δω≈2π/τ или Δν≈1/τ – чем больше длина цуга, тем у'же спектральная линия.

         Реально излучение атома , конечно, не имеет вид резко обрывающегося отрезка синусоиды, интенсивность спадает постепенно и закон ее изменения зависит от того, какие процессы определяют длительность излучения. Соответственно и форма линии несколько меняется, но соотношение Δν≈1/τ всегда остается верным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Если основной процесс, определяющий время жизни атома, – естественное затухание или столкновения с другими атомами, то линия

имеет острый максимум и широкие «крылья» («Лоренцовский контур»).

         Если основной процесс – эффект Доплера, то линия имеет колоколообразную форму, и ширина ее определяется скоростями атомов, то есть температурой газа. Таким образом, по ширине Допплеровского контура можно судить о температуре звезды (если удастся наблюдать линии настолько интенсивные, чтобы можно было определить ширину).

         Если важны оба процесса, то по бокам колокообразной линии «торчат» крылья Лоренцовского контура.

Таким образом, по форме спектральной линии и по ее ширине  можно судить о времени жизни атома и о том, какие процессы его определяют.

         На рис. 4.3.5. показана сравнительная форма доплеровского (1) и лоренцовского (2)  контуров линии.

         Способы экспериментального определения времени жизни атома:

1) Измерить контур спектральной линии и определить её ширину.

2) Возбуждать газ короткими импульсами и измерить спад интенсивности свечения.