Световые волны в прозрачной изотропной среде.

С точки зрения классической теории свет представляет собой электромагнитные волны. Возбуждение волн происходит вследствие того, что в какой-либо части пространства происходит  движение электрических зарядов, обуславливающее появление переменных электрических и магнитных полей. Но, раз возникнув, электромагнитные поля будут существовать сами по себе, распространяясь в пространстве в виде волн, без какого-либо материального носителя (эфира)!

Уравнения Максвелла.

Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла. Запишем систему уравнений Максвелла . В дифференциальной форме она имеет вид

                                                                                           (1)

Эти уравнения должны быть дополнены материальными уравнениями. Для изотропной непроводящей прозрачной среды и не слишком больших полей (в пределах линейной оптики) материальные уравнения будут

 Определения:

 для произвольного вектора

                  - скаляр;

           - вектор.

Замечания.

1.О системе единиц.  ГОСТ допускает для электрических и магнитных величин применение системы СГС, основными единицами в которой являются сантиметр, грамм, секунда и в которой электрическая и магнитная постоянные при нерационализированной форме уравнений равны единице, причем эти постоянные  рассматриваются как отвлеченные числа. Эта система носит название симметричной системы СГС для электрических или магнитных измерений или системы Гаусса.

    Наши уравнения написаны именно в этой системе. В учебниках  вы встретите также иной вид уравнений (они отличаются значениями постоянных коэффициентов), т.к. большинство современных учебников используют систему СИ.  Но это не повлияет на выводы, которые мы будем делать, а вид уравнений в Гауссовой системе проще и физически понятнее.

     2. Физический смысл электродинамической постянной c. Единица электрического заряда  в системе СГСЕ устанавливается на основаниии закона Кулона

                                                                                       

Тогда магнитное взаимодействие токов (сила, с которой ток   действует на элемент длины l тока  если расстояние между проводами с током    r)

                                                                                              

Так как единица заряда уже установлена, то коэффициент пропорциональности  имеет вполне определенное значение. Величина c и есть электродинамическая постоянная.

В системе СГСМ единица заряда устанавливается из формулы взаимодействия токов (коэффициент пропорциональности принимается равным единице) и значит электродинамическая постоянная равна также отношению единиц заряда в СГСМ и СГСЕ системах единиц.

 Таким образом, эта постоянная имеет глубинный физический смысл, а не просто формальный коэффициент. Она отражает соотношение величин электрического и магнитного взаимодействия. Из  формулы (б) вытекает: два заряда, движущиеся параллельно друг другу на расстоянии r  со скоростью v взаимодействуют с силой

                                                   

Таким образом, электрическая и магнитная силы взаимодействия относятся как квадрат отношения (v/c), т.е. магнитная сила значительно меньше ( для не очень больших скоростей электронов)

 

     3.Смысл векторов E и B. Среда, в которой существуют поля  Е и В, считается непрерывной, т.е. атомная структура среды игнорируется. Поля усредняются по области, содержащей много молекул:

Кроме того нужно, чтобы эта область была много меньше длины волны:, где  – межатомное расстояние.

   Оценим r для газа при нормальных условиях (760 мм рт.ст и комнатной температуре). , тогда

.

Для твердых тел это расстояние на порядок меньше. Длина волны света (зеленая область) . Таким образом, для оптического диапазона и не слишком разреженной атмосферы это условие выполнено.

   4. Величины ε и μ по теории Максвелла – постоянные, характеризующие среду. Физический смысл этих постоянных в теории Максвелла не рассматривается, они вводятся формально. В действительности  сильно зависит от частоты. В рамках теории Максвелла это не объяснить, здесь нужно рассматривать атомную структуру вещества и учитывать поляризуемость отдельных атомов и молекул.

         Магнитная проницаемость для оптических частот всегда близка к единице. Это объясняется тем, что магнитные диполи атомов не успевают поворачиваться за магнитным полем, если оно изменяется с оптической частотой.

 

Решение уравнений Максвелла для плоского случая.

   Рассмотрим частный случай линейной, изотропной однородной среды, прозрачной для световых волн, непроводящей и незаряженной («идеальный диэлектрик»). Таким образом, положим:

Тогда уравнения (1) примут вид

                   

Заметим: уравнений – 8, неизвестных – 6 , таким образом, должны присутствовать еще два уравнения. Они выражают связь между векторами E и H, которая уже учтена в этих уравнениях.

    Рассмотрим частный случай плоского поля, когда векторы E и H зависят только от одной координаты (например, от x). Это очень важный практический случай, мы в основном и будем иметь дело с такими полями.  Выписывая составляющие  приравнивая производные по y и z нулю, получим:

      

Система уравнений (2) распадается на 3 независимых системы, которые связывают между собой составляющие полей:  .   Уравнения описывают три независимых электромагнитных поля.

Из системы (2a) получим:  Эти составляющие поля постоянны. Но нас постоянное поле не интересует. Мы можем его не рассматривать и просто положить .

Отсюда получаем следующее свойство электромагнитных полей:

переменное плоское электромагнтиное поле в неограниченной однородной среде является поперечным и представляет собой суперпозицию двух независимых друг от  друга полей.

Чтобы получить уравнения для полей  продифференцируем первое уравнение системы (2b) по x, второе – по t:

 

Подставив выражение для  из второго уравнения в первое, получим:

Аналогичным образом можно получить уравнения для всех четырех полей, они все будут иметь один и тот же вид.

Волновое уравнение. Волна

   Уравнение вида

называется волновым уравнением (точнее – это частный случай волнового уравнения для плоского поля), так как оно является математическим описанием волн.

  Волна – это возмущение, которое распространяется в пространстве и, как мы потом увидим, несет с собой энергию.

Волны – не обязательно электромагнитные. Волновое уравнение описывает всякие волны (распространяющиеся в среде упругие деформации – звуковые волны, волны на поверхности жидкости и другие).

   Решение уравнения (4)  будет

это легко проверить, подставив выражение (5) в формулу (4). В пространстве может распространяться возмущение любой формы, форма определяется видом функции f. Скорость распространения возмущения u. Каждая плоская поверхность, соответствующая определенному фиксированному значению аргумента  или – так называемая волновая поверхность – двигается вдоль оси x со скоростью u (вправо или влево) и остается плоской. Знак “–“ в уравнении (5) соответствует движению слева направо ( в направлении возрастания  х), знак “+” – справа налево.

         Форма возмущения (вид функции f ) определяется характером воздействия излучателя, т.е. в нашем случае зависит от того, каким было движение зарядов, породивших волны. Например, если излучатель создает кратковременное возмущение (проскочила искра между электродами),  то возникшая волна окажется одиночным импульсом, который  и распространяется в пространстве со скоростью u.( Подобная волна будет распространяться по шнуру, если один его конец закрепить, а другой взять в руку и один раз встряхнуть).

         Если источник создает повторяющиеся возмущения, то и волна имеет повторяющийся характер, например, имеет вид синусоиды.

         Уравнение волны описывает процесс во всем безграничном пространстве, кроме области, в которой расположен излучатель, и, следовательно, возникают волны. Действие излучателя в простейшем случае учитывается заданием граничных условий, т.е. вид функции f задается на границе между излучателем и средой, в которую излучаются волны.

Таким образом. мы установили:

переменное электромагнитное поле существует в свободном пространстве в виде электромагнитных волн.

         Выясним некоторые свойства электромагнитных волн.

а) Скорость. Электрическая и магнитная компоненты распространяются с одинаковой скоростью

         б) Связь между значениями Е и Н. Запишем решение уравнения (3),  а также решения аналогичных уравнений для других компонент полей, в виде

где f и g – произвольные функции.          

Подставив выражения (6) в уравнения  (2b) и (2c) получим

но  , следовательно,  или, интегрируя,

.

Точно так же:

.

В  выражениях (7) и (8) верхний знак относится к волне, распространяющейся слева направо (в направлении возрастания x), нижний – справа налево.

         в) Взаимное направление векторов E и H. Введем единичный вектор  , совпадающий по направлению с направлением распространения волны. Введем систему координат x,y,z :

Нарисуем направления векторов для всех возможных случаев

 

   

 

 

 

Во всех случаях E,H и s составляют правую тройку векторов: ~[EH]. С учетом связи между значениями полей, получим

         или       

Направление распространения волны совпадает с направлением векторного произведения . Абсолютные величины  E и H связаны между собой зависимостью .

Итог.

1.     Переменное электромагнитное поле существует в свободном пространстве в виде электромагнитных волн.

2.     Эти волны поперечны.

3.     Скорость распространения волны .

4.     Существуют две независимых волны с взаимно-перпендикулярным направлением электрического вектора.

5.     В каждой из этих волн электрический и магнитный векторы и направление распространения волны взаимно перпендикулярны: .

6.     В каждой точке пространства в каждый момент времени магнитная

     компонента пропорциональна электрической и связана с ней

     соотношением .

7.     Направление распространения волны совпадает с направлением векторного произведения , т.о  векторы составляют правую тройку векторов s~[E,H].

         Все эти свойства присущи не только плоским волнам, но верны и для любых других волн в свободном однородном пространстве.

 

Произвольно направленная плоская волна. Волновая поверхность.

         Мы считали до сих пор, что векторы E и H направлены вдоль осей координат. В общем случае плоская волна может, конечно, распространяться в любом направлении. Пусть  – единичный вектор с фиксированным направлением:, а  – радиус-вектор какой-то точки P в пространстве. Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении вектора будет

Действительно,  дает нам плоскость, перпендикулярную направлению , u – скорость распространения волны. Выражение  описывает волновую поверхность, перемещающуюся параллельно самой себе со скоростью u (Рис.2).

             

         Волновая поверхность – это поверхность, на которой значения вектора E одинаковы в данный момент времени. Для плоской волны это плоскость.

Волновое уравнение в общем случае. Сферическая волна.

          В общем случае (не плоском) волновое уравнение имеет вид

                                        

где Δ – оператор Лапласа. В декартовых координатах:

, таким образом, волновое уравнение будет

, где по-прежнему .

Общее решение уравнения (11) можно представить как  наложение всевозможных плоских волн, распространяющихся в разных направлениях и имеющих разную ориентацию электрического вектора. В разных реальных случаях реализуются разные частные решения. Например, если мы зададим, что волна имеет сферическую симметрию, то получим сферическую волну, которая описывается выражением

,

где r – расстояние от центра симметрии до точки наблюдения. Волновые поверхности в этом случае будут  сферы. Такие волны образует, например, малый («точечный») источник возмущения.

Замечание 1.

Электромагнитное поле всегда является решением волнового уравнения, но не наоборот – не всякое решение волнового уравнения соответствует реальному волновому полю. Например, сферическая волна, распространяющаяся  к излучающему  (колеблющемуся) заряду – нереальна. (Однако, вообще сходящиеся сферические волны реально могут существовать, например, волна, сходящаяся в фокусе линзы).

         Замечание 2.

Мы говорили о том, что электромагнитные волны поперечны. Это относится к свободной э-м волне. Однако, если имеются какие-либо ограничивающие экраны, зеркала и пр., то картина становится сложной и  в некоторых случаях могут  появиться и продольные составляющие полей. Пусть, например, волна распространяется между двумя параллельными отражающими плоскостями (модель волновода). Рис.3. Тогда результирующая волна, выходящая из волновода, может иметь продольную составляющую.

 

                     Рис.3.

         Замечание 3.

Показатель преломления. По теории Максвелла скорость распространения волны . В оптике вводят показатель преломления , определяя его как , значит , но, т.к. всегда , то можно считать .

В уравнениях Максвелла предполагается, что диэлектрическая постоянная – это константа, характеризующая среду. В действительности это не так , показатель преломления зависит от длины волны (например, призма разлагает белый свет), значит и диэлектрическая постоянная тоже зависит от длины волны. В рамках теории Максвелла это нельзя объяснить, здесь нужно рассматривать атомную структуру вещества и его поляризуемость. Соотношение между значением ε (определяемым в статическом случае) и  n (определяется для поля высокой частоты) тоже часто не выполняется. Приличное совпадение получается лишь для  некоторых веществ, например, для газов с простой химической структурой и некоторых жидкостей.

 

Монохроматическая волна.

          Важным практическим случаем являются гармонические или монохроматические волны, возникающие, если излучатель создает возмущения, представляющие собой гармонические колебания.

Плоская волна имеет вид

Плоская монохроматическая волна описывается уравнением

Из формулы (2) видно:

–Формула (2) является частным случаем формулы (1).

– Волна (2) периодична во времени и в пространстве.

В выражении (2) – амплитуда,    – фаза волны,  – волновой вектор.

Чтобы выяснить смысл волнового вектора  запишем формулу (2) в виде

Величина Т – период – определяет периодичность во времени. Вспомним: . ω – круговая частота, ν – частота (ее иногда называют циклической частотой).

 Величина λ – длина волны – определяет периодичность в пространстве.

Из сравнения формул (3) и (2) видно:

.

Волновой вектор по направлению совпадает с направлением распространения волны. Его абсолютное значение называется волновым числом .

Частота и период колебаний также связаны с волновым числом Чтобы выяснить эту связь, запишем формулу (2) в виде

 

Таким образом . Отсюда следует   и , где  – длина волны в вакууме.

Периодичность во времени (частота) задается излучателем.

Периодичность в пространстве (длина волны) – зависит от частоты и от свойств среды (показателя преломления):

Различные виды записи. (Все эти выражения нам понадобятся в дальнейшем).

Выбрав направление осей координат так, чтобы ось x совпадала с направлением волнового вектора, можем записать (2) в виде

или

.,

– начальная фаза (определяет фазу в точке x=0, t=0).

Ещё одна форма записи (в комплексной форме)

Это означает следующее.

 Любое комплексное число  можно записать двояко:

Мы можем условиться вместо (5) писать (6), понимая под этим, что . Знак Re для краткости опускаем.

Начальную фазу можно вводить двояко. Можно писать

,

а можно (и, часто, удобнее) ввести комплексную амплитуду:

Тогда истинная (вещественная) амплитуда будет  (модуль),

А начальная фаза   (аргумент).

Известно:

– Вещественная часть суммы (разности) комплексных чисел равна сумме      (разности) их вещественных частей.

– Вещественная часть производной (интеграла) от комплексной величины    равна производной (интегралу) от её вещественной части.

Поэтому:

Мы имеем право вместо сложения, вычитания, дифференцирования, интегрирования синусоидальных величин (волн) проделывать все эти операции с волнами, записанными в комплексной форме, а потом взять вещественную часть результата.

Но не умножать!

 

Замечания.

1. Если волна записана как  ,  то ту же волну можно записать и как  , т.к. реальные части этих двух функций совпадают.

2. Поле E можно изобразить графически как вектор на комплексной плоскости. Это упрощает многие задачи, сводя их к геометрическим построениям.

На графике это выглядит так.

Если , то вектор  вращается против часовой стрелки, если  – по часовой стрелке.

3.  Все эти записи равноценны. Обычно используют ту, которая удобнее для решения данной задачи. Нужно, чтобы вы легко переходили от одной записи к другой, чтобы это делалось автоматически.

4.     Полезно помнить формулы (Эйлера)

               

   Монохроматическая волна имеет важное значение в оптике. Излучение света отдельными атомами происходит (грубо говоря) потому, что электрон в атоме колеблется. Его колебания близки к гармоническим, а, следовательно, волны, испускаемые отдельными атомами, близки к монохроматическим волнам и во многих случаях могут приближенно рассматриваться как монохроматические.