Дифракция света. Дифракция Френеля.

         При распространении в однородном пространстве э-м волны не испытывают изменения геометрической формы фронта. Однако, если волна распространяется в неоднородной среде,  возникает искажение фронта волны и перераспределение интенсивности в пространстве. Такие явления получили название дифракции света. Наиболее отчетливо эти явления наблюдаются в случае, когда фронт волны ограничивается непрозрачными экранами, которые вырезают из неограниченного фронта ту или иную часть. Дифракционные явления проявляются и тогда, когда на пути волны имеются прозрачные тела с оптическими характеристиками, отличными от тех, которые имеет однородная среда.

В основе теории дифракции лежит принцип Гюйгенса. Гюйгенс (1629-1695гг) установил следующий принцип рассмотрения дифракции. Каждую точку всякой волны можно рассматривать как центр новой системы элементарных волн. Результирующая волна рассматривается как наложение этих элементарных волн. Если известно положение фронта волны в некоторый момент времени, то для определения положения волнового фронта  в последующий момент  нужно построить огибающую этих вторичных волн.

Однако, это лишь качественная картина и в таком виде принцип Гюйгенса справедлив только для безграничного фронта волны (безграничная плоскость, сфера и т.п.). Более общая формулировка была дана Френелем, который дополнил принцип Гюйгенса тем, что указал на необходимость учитывать при сложении элементарных волн фазы колебаний.

Пусть дано монохроматическое световое поле .Рассмотрим фронт волны  S. Согласно принципу Гюйгенса  каждый участок фронта dS  является источником элементарной сферической волны. Рассмотрим произвольную точку P пространства. Участок dS посылает в точку Р элементарную волну

                                  

Здесь – величина, пропорциональная амплитуде в точке М (она может быть и комплексной), r – расстояние от М до Р,  – функция угла φ между направлением от М к Р и нормалью к фронту волны. Эта функция не была определена Френелем, но известно, что она имеет максимум при φ=0, монотонно уменьшается при увеличении угла, и равна нулю при φ=π/2. Результирующая интенсивность поля световой волны в точке Р

                    

                

 Таким образом, поле падающей волны во всем объеме заменяется полем, заданным на некоторой поверхности, и поле в точке Р вычисляется как результат интерференции волн от всех участков этой поверхности.

 

Замечания.

Вообще говоря, поверхность S не должна обязательно совпадать с фронтом волны, она может быть произвольной, должна только охватывать источник света. Однако формула тогда будет сложнее

         Если на пути волны стоит непрозрачный экран с отверстием, то поверхность S удобно выбрать  совпадающей с экраном, а отверстие затягивают произвольным образом в соответствии с поставленной задачей.

 

6.01. Дифракция Френеля.

         Одним из важных частных случаев дифракции является дифракция сферической волны на каких-нибудь препятствиях (например, на оправе объектива). Такая дифракция называется дифракцией Френеля.

В некоторых случаях дифракционные задачи могут быть решены просто, если воспользоваться методом зон Френеля. Рассмотрим такой случай. Пусть между точечным источником и точкой наблюдения P есть  непрозрачный экран с круглым отверстием. Поверхность  S выбирается совпадающей с экраном, а отверстие она затягивает по фронту волны.

Для вычисления амплитуды волны в точке Р Френель предложил такой прием. Сферический фронт разбивается на ряд кольцевых зон так, чтобы расстояния от краев зоны до точки наблюдения Р различались на половину длины волны (рис.6.2). Такие зоны называются зонами Френеля. На рис.2: . Интеграл заменяется суммой по зонам Френеля:

               

                                                    

Здесь к – номер зоны. Расстояние  от края зоны   до точки Р: , k=1,2,3,…  В силу симметрии задачи амплитуда А одинакова для всех точек волнового фронта. Подсчитаем эту сумму. Запишем её так

Но , действительно,

Обозначим

                                        

Тогда получим

                  

            Амплитуда колебания в точке Р равна

                   

Чтобы выяснить, как меняется  с увеличением номера зоны к подсчитаем  – площадь зоны номер к.  Рассчитаем площадь к зон – это площадь части сферы, включающей к зон (см. рис.3)

                     

(Так как )

Найдем х. Из рисунка видно

        

Раскрываем скобки, пренебрегаем малым членом, содержащим , решаем относительно х и получаем          . Подставив полученное значение х в выражение для  получим , откуда

 

Здесь a – радиус выбранной сферической поверхности, b – расстояние от вершины этой поверхности до точки наблюдения. Таким образом, оказывается, что с точностью до величин второго порядка малости  площади всех зон одинаковы.

                                                   

Вычислим ещё радиус к-ой зоны (это выражение нам понадобится дальше).

               

(опять пренебрегаем малым членом  ).

Вернемся теперь к сумме (2). Все величины, входящие в σ, мало меняются и само значение σ монотонно уменьшается. Так как сумма знакопеременная, то каждая последующая зона почти  гасит предыдущую. Сгруппируем члены суммы так:

                          

Действие всей волны сводится к действию её малого участка площадью меньше площади первой зоны Френеля. Это и есть доказательство прямолинейного распространения света.         Утверждение о прямолинейности распространения света нужно понимать так, как это следует из принципа Френеля: свет «в общем» распространяется прямолинейно (кроме тех случаев, когда заметную роль играет дифракция). Если, например,  имеется экран с отверстием, то, чтобы дифракция играла заметную роль, нужно чтобы площадь отверстия была мала – сравнима с площадью первой зоны Френеля. Если же площадь отверстия значительно больше, то наблюдаем практически прямолинейное распространение света. Оценим площадь первой зоны Френеля. Пусть a=b=1 м, , тогда ΔS≈0,7 кв.мм. – очень малый участок

         Графическое вычисление результирующей амплитуды.  Весь фронт волны  разбивается на бесконечное количество узких колечек. Сумма изображается на графике –в пределе  получается спираль (рис.4).

                                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие задачи дифракции Френеля

Мы рассмотрим:

1.     Дифракцию на круглом отверстии

2.     Дифракцию на круглом экране

3.     Зонную пластинку

4.     Дифракцию на крае экрана

 

 

Дифракция на круглом отверстии.

        Действие отверстия в точке наблюдения, находящейся на оси картины,  зависит от того, сколько зон Френеля укладывается в отверстии. Если число зон нечетное – действие больше, чем без экрана. Больше всего – если открыта одна зона. Если открыта только первая зона, то, как видно из рисунка, амплитуда примерно в два раза больше, чем если бы был открыт весь фронт, а интенсивность – в четыре раза больше. Если открыто четное число зон – меньше, чем без экрана. Меньше всего – если открыты 2 зоны. Это все хорошо видно из графического рассмотрения (рис.4). Амплитуда определяется как длина вектора  ON с началом в точке О, а конец – там, где кончается последняя открытая зона. Вокруг центральной точки будут темные и светлые кольца – это ясно из осевой симметрии картинки.

Дифракция на круглом экране.

       Рассмотрим опять точку на оси. Здесь начало вектора, определяющего амплитуду, находится в центральной точке N, конец – в конце последней закрытой зоны.  Если закрыто мало зон, в точке на оси освещенность почти такая же, как и в отсутствии экрана. С увеличением числа зон освещенность падает. Но в середине все-таки светлое пятнышко. Вокруг – кольца.

         Это явление явилось одним из первых доказательств волновой природы света (Араго). (Оно находило применение в фотографии – вместо объектива – шарик).

Но все это так получается только если отверстие, или экран – круглые с точностью до размеров зоны.

         Светлое пятно в середине геометрической тени получило название пятно Пуассона.

 

 

Зонная пластинка

Отличной демонстрацией правильности идей Френеля является зонная пластинка. Изготовим экран из последовательно чередующихся темных (непрозрачных) и светлых (прозрачных)  колец, так, что оказываются открытыми все нечетные (или все четные) зоны. Тогда в сумме (2) будут присутствовать слагаемые только одного знака и все они сложатся. Результирующая амплитуда окажется значительно больше, чем без пластинки. Пластинка работает как собирающая линза. Связь между расстояниями a и b такая же, как для тонкой линзы. Действительно, из (3) имеем

.

где  – радиус первой зоны Френеля (он соответствует радиусу первого кольца зонной пластинки). Если на зонную пластинку падает плоская волна (), то свет собирается в фокусе на расстоянии f от пластинки, ,  

В отличие от линзы зонная пластинка имеет много фокусов и, значит, дает много изображений точечного источника. Действительно, в сумме (2) слагаемые можно группировать, например по 3: , тогда в каждой скобке два слагаемых компенсируют друг друга, остается третье слагаемое, положительное.  Следовательно, если переместить точку наблюдения ближе к пластинке, так, чтобы в кружке того же радиуса r укладывалось 3 зоны, то в этом месте получим тоже фокус, но зон будет в 3 раза больше:  и . Следующий фокус получится если в круге с  тем же радиусом уместится 5 зон, и т.д. Таким образом, фокусные расстояния зонной пластинки равны

Интенсивность света в каждом следующем фокусе меньше, чем в предыдущем.

Кроме того, существуют и мнимые фокусы.

Замечание. Последовательность радиусов зонной пластинки подчиняется такому же закону, что и последовательность радиусов колец Ньютона в монохроматическом свете той же длины волны. Поэтому зонную пластинку можно получить, просто сфотографировав интерференционную картину колец Ньютона.

 

Дифракция на крае экрана.

Пусть на пути сферической волны находится плоский экран с прямолинейным краем, закрывающий часть пространства. Здесь кольцевые зоны Френеля неудобны, так как прямолинейный край не выделяет целых зон, а учет действия частично открытых зон затруднителен. Поэтому поступим следующим образом. Проведем плоскости, включающие в себя центр волнового фронта и параллельные краю экрана. Поверхность волны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разбивается дугами большого круга на лунки (представьте себе разрезанный арбуз!). Края лунок  устанавливаются так, чтобы расстояния от них до точки наблюдения различались на половину длины волны (рис.5). Тогда волны от соседних лунок  в точке наблюдения Р будут в противофазе и будут гасить друг друга. Однако площади лунок убывают, поэтому гашение будет не полным. В результате сложения всех элементарных волн получим фигуру, которая называется спираль Корню. Вид спирали показан на рис.6, а вид интерференционной картинки – на рис.7. На рис.6 – F’F” –  действие свободной волны; OF’ – амплитуда в точке Р (там, где открыта половина фронта). Если открыто меньше, чем половина фронта, (точка наблюдения влево от точки Р) – амплитуда изображается вектором с началом в F’ и концом на правой половине спирали. По мере продвижения точки наблюдения влево, в область тени, амплитуда монотонно уменьшается. Если, наоборот, точка наблюдения продвигается вправо, в освещенную область, то конец вектора амплитуды ползет по левой стороне спирали и испытывает колебания интенсивности. Из кривой рис.7 видно, что в некоторый момент интенсивность становится заметно больше, чем при полностью открытом фронте. Это и наблюдается на практике, например:

– Силуэт человека на платформе электрички (освещаемый прожектором) имеет яркую окантовку

– Изменение интенсивности при покрытии звезды лунным диском

 

Подобие дифракции.

         Мы видели. что результат дифракции зависит от соотношения между диаметром  отверстия (непрозрачного экрана) D  и зоны Френеля ρ. Радиус первой зоны Френеля определяется из

Величина f – характерное расстояние для данной дифракционной задачи, т.е. для данных ρ и λ. Радиус первой зоны .

Результат дифракции зависит от соотношения между  диаметром отверстия D  и радиусом первой зоны ρ. Введем параметр дифракции

                                             

Условие неизменности условий дифракции: p=const. В этом и состоит условие подобия дифракции. Если изменить λ, f и D так, чтобы параметр дифракции остался неизменным, то картинка дифракции не изменится. Например, если увеличить диаметр отверстия в n раз, то нужно увеличить в  раз либо линейные размеры препятствия, либо длину волны.

         Замечание. Обычно считается, что дифракционные явления для световых волн заметны только при очень малых объектах, однако дифракцию можно наблюдать и при больших объектах, соответственно увеличив расстояние (пример – покрытие света звезды Луной)

         Характерные случаи:

1) . Диаметр отверстия по порядку величины близок к радиусу первой зоны Френеля. Дифракция существенна.

2) p→0 . Это значит, что <<D. Препятствие содержит много зон Френеля. Это случай геометрической оптики.

         Если отверстие содержит малую часть зоны Френеля () – это дифракция в параллельных лучах. Она называется  дифракция Фраунгофера.

 

Замечания относительно принципа Гюйгенса-Френеля.

Из сравнения расчетов с опытом было установлено, что принцип Гюйгенса-Френеля дает правильное распределение амплитуд если размеры отверстий не оказываются сравнимыми с длиной волны и при не очень больших углах дифракции.

         Недостатки такого расчета:

1)     Не определена функция K(φ)

2)     Рассчитанная фаза волны в точке наблюдения отличается на  от наблюдаемой.

3)     Не учитывается обратная волна

4)     Считается, что открытая часть волны действует так, как если бы экран отсутствовал и результат не зависит от материала экрана. (Опыт показывает, что это не так, в частности металлический экран изменяет вид дифракции в непосредственной близости к экрану).

Теория дифракции постепенно дополняется (в том числе и сейчас).

Кирхгоф определил вид функции K(φ), Зоммерфельд  определил дифракцию на краю идеально проводящего бесконечно тонкого экрана и т.д.